B7. Тригонометрическое уравнение. Лишние корни (ЕГЭ-2009, ЕГЭ-2010)
B7. Найдите наименьший корень уравнения tg(πx)cos(3πx) + sin(3πx) = sin(4πx) на промежутке (1, 3)

Запишем уравнение так: sin(πx)·cos(3πx)
cos(πx)
+ sin(3πx) = sin(4πx);
Потребуем, чтобы знаменатель не был равен нулю cos(πx) ≠ 0
Значит, πx ≠ π
2
+ πn; x ≠ 1
2
+ n (числа вида 1,5; 2,5; 3,5....);

Умножим теперь обе части уравнения на cos(πx) ≠ 0. Получим
sin(πx)·cos(3πx) + sin(3πx)·cos(πx) = sin(4πx)·cos(πx).
Применим формулу sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + sin(β)·cos(α).
sin(πx + 3πx) = sin(4πx)·cos(πx);
sin(4πx) = sin(4πx)·cos(πx);
sin(4πx)(1 - cos(πx)) = 0;
sin(4πx) = 0 или cos(πx) = 1;

1) sin(4πx) = 0; 4πx = πn; x = n/4
На данном промежутке это числа 1,25; 1,5...
2) cos(πx) = 0; πx = π/2 + πn; x = 1/2 + n
На данном промежутке это числа 1,5 и 2,5.
Наименьшим из корней является 1,25.
Ответ: 1,25
решебник по математики 4 класс моро 2 часть