B7. Найдите наименьший корень уравнения tg(πx)cos(3πx) + sin(3πx) = sin(4πx) на промежутке (1, 3)
| Запишем уравнение так: | sin(πx)·cos(3πx)cos(πx) | + sin(3πx) = sin(4πx); |
| Потребуем, чтобы знаменатель не был равен нулю cos(πx) ≠ 0 |
| Значит, πx ≠ | π2 | + πn; x ≠ | 12 | + n (числа вида 1,5; 2,5; 3,5....); |
Умножим теперь обе части уравнения на cos(πx) ≠ 0. Получим
sin(πx)·cos(3πx) + sin(3πx)·cos(πx) = sin(4πx)·cos(πx).
Применим формулу sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + sin(β)·cos(α).
sin(πx + 3πx) = sin(4πx)·cos(πx);
sin(4πx) = sin(4πx)·cos(πx);
sin(4πx)(1 - cos(πx)) = 0;
sin(4πx) = 0 или cos(πx) = 1;
1) sin(4πx) = 0; 4πx = πn; x = n/4
На данном промежутке это числа 1,25; 1,5...
2) cos(πx) = 0; πx = π/2 + πn; x = 1/2 + n
На данном промежутке это числа 1,5 и 2,5.
Наименьшим из корней является 1,25.
Ответ: 1,25
|
