С3. Неравенство с параметром. Метод интервалов (ЕГЭ-2009, ЕГЭ-2010)
C3. Найти все значения а, при каждом из которых неравенство
x - (2a + 23-a)
x - (cosa - 1)
≤ 0 выполнено при всех х, принадлежащих промежутку (6, 9).

Пусть m = 2a + 23-a и n = cosa - 1, при этом m > 0, n ≤ 0, т.е. m > n.
Получим неравенство: х - m
x - n
≤ 0. Его решением является интервал (n, m].

Чтобы неравенство выполнялось при всех х из промежутка (6, 9),
этот промежуток должен входить целиком в интервал (n, m],
т.е. должны выполняться неравенства: n ≤ 6 и m ≥ 9.

Первое: n ≤ 6; cosa - 1 ≤ 6; cosa ≤ 7. Неравенство верно для любого а.
Второе: m ≥ 9; 2a + 23-a ≥ 9; 2a + 8/2a ≥ 9; Пусть 2a = t, t > 0.
Умножив обе части неравенства на t>0, получим t2 - 9t + 8 ≥ 0.
Решением неравенства относительно t являются два луча (-∞; 1] и [8; +∞),
а относительно а являются лучи (-∞; 0] и [3; +∞) (если t=1, то а=0,
а если t=8, то а=3. Кроме того, 2a - возрастающая функция).
Ответ: (-∞; 0] и [3; +∞)
костюм снежинки