C5. Комбинированное задание с параметром. Число корней уравнения (ЕГЭ-2009, ЕГЭ-2010)
C5. К числу корней уравнения (p-2)x3 + x2 + x
p-2
+ 1 = 0 прибавили число корней уравнения px2 + (p+2)x + p - 1 = 0.
Найдите все значения р, при которых такая сумма равна р.
Так как первое уравнение является кубическим (ст коэфф. p - 2 ≠ 0), то оно может иметь 1, 2 или 3 корня.
Второе уравнение при р ≠ 0 является квадратным (иначе - линейным). Значит, оно может иметь 0, 1 или 2 корня
Сумма этих чисел (а значит, по условию само р) может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Рассмотрим их.
При р = 4 и при р = 5 второе уравнение имеет отрицательный дискриминант, т.е. корней у него нет.
Но первое уравнение никак не может иметь 4 или 5 корней, чтобы сумма получилась соответствующей.
При р = 3 второе уравнение имеет два различных корня (3х2 + 5х + 2 = 0),
а первое - ровно один: х3 + х2 + х + 1 = 0; (х + 1)(х2 + 1) = 0; х = -1.
Сумма этих чисел равна р (2 + 1 = 3). Значит, число 3 удовлетворяет условию.
При р = 2 первое уравнение не имеет смысла.
При р = 1 второе уравнение снова имеет два решения (х2 + 3х = 0), и сумма корней не может быть равна единице.
При р = 0 второе уравнение становится линейным и имеет один корень. Опять же сумма корней не может быть равна нулю.
Ответ: 3
Купить диплом в Ижевске - бизнес или фарс?