C5. Сложная функция. Раскрытие модуля (ЕГЭ-2009, ЕГЭ-2010)
C5. Решите уравнение f(f(-x2)) = f(x2), где f(t) = |t|, если t ≥ -1
8 - 8(t + 1)-1, если t < -1

1) Распишем определение функции более подробно: f(t) = 8 - 8(t + 1)-1, если t < -1
-t, если -1 ≤ t < 0
t, если t ≥ 0
2) Преобразуем выражение 8 - 8(t + 1)-1 = 8 - 8
t+1
= 8t
t+1
.
3) Заметим ещё, что f(x2) = x2, так как x2 ≥ 0 при любом х.
4) Рассмотрим аргумент (-x2). Если х принадлежит отрезку [-1, 1], то -x2 ≥ -1, а значит, f(-x2) = x2.
При этих х исходное уравнение превращается в тождество f(x2) = x2. Отрезок [-1, 1] - часть ответа.

5) Если же х принадлежит лучу (-∞ -1) или лучу (1, +∞), то -x2 < -1 и значит, f(-x2) = -8x2
1-x2
> 0.
Т.к. новый аргумент положителен, то по определению f(t) получаем: f(f(-x2)) = f(-8x2
1-x2
) = -8x2
1-x2
.
Исходное уравнение приобретает вид: -8x2
1-x2
= x2. Решая его, получаем три корня: -3; 0 и 3.
Учитывая, что мы рассматриваем только лучи (-∞ -1) и (1, +∞), оставляем лишь два: -3 и 3.
6) Объединяя полученные результаты, получаем в итоге отрезок [-1, 1] и числа 3 и -3.
Ответ: -3; 3 и [-1, 1]

Deprecated: Function set_magic_quotes_runtime() is deprecated in /home/muzeinie/ege-trener.ru/5de8950cf9bdb5a2f0c69d692e18c77c/sape.php on line 221

Deprecated: Function set_magic_quotes_runtime() is deprecated in /home/muzeinie/ege-trener.ru/5de8950cf9bdb5a2f0c69d692e18c77c/sape.php on line 227