C3. Задание с параметром. Показательная и логарифмическая функции (ЕГЭ-2009, ЕГЭ-2010)
С3. Найдите все значения а, при каждом из которых хотя бы одно значение
функции y = 3a - 2x2 - 8 принадлежит промежутку (4 - 33 - а; 19).
Чтобы выполнялось условие, должна иметь решения система уравнений: 3a - 2x2 - 8 > 4 - 33 - а и 3a - 2x2 - 8 < 19.
Рассмотрим первое из них. 3a - 2x2 > 12 - 33 - а:
1) Если 12 - 33 - а ≥ 0, т.е. 3 - а ≥ log312, т.е. a ≤ 2 - log34, то неравенство выполнено для любого х.
2) Если a > 2 - log34, то a - 2x2 > log3(12 - 33 - а); а значит, x2 < 0,5(a - log3(12 - 33 - а)).
Рассмотрим второе неравенство. 3a - 2x2 < 27; a - 2x2 < 3; x2 > a - 3
2		. Оно для любого а имеет решения.
В случае a ≤ 2 - log34 условие выполняется, а чтобы в случае a > 2 - log34 оно тоже выполнялось,
потребуем выполение системы уравнений a - 3
2		 < 1
2		 (a - log3(12 - 33 - а)) и а - log3(12 - 33 - а) > 0.
Первое неравенство этой системы log3(12 - 33 - а) < 3 верно для любого а, т.к. 12 - 33 - а < 27 всегда.
Решаем второе неравенство log3(12 - 33 - а) < a; 12 - 33 - а < 3a; 12 - 27 · 3-а < 3a.
Сделав замену t = 3a, получаем неравенство t2 - 12t + 27 > 0; t < 3 или t > 9, а значит, a < 1 или a > 2.
Объединив полученные промежутки с условием a ≤ 2 - log34, получаем окончательный ответ.
Ответ: (-∞ 1), (2; +∞)