B10. Высота цилиндра равна 15, а радиус равен 2. На окружности основания отмечены точки A, B и C
так, что AB = 2√3, CA = CB и ∠ACB < 90°. Отрезок СС1 - образующая цилиндра.
Найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью АВС1.
Так как треугольник ABC - равнобедренный, то центр описанной около него окружности
лежит на СК, где СК - медиана, высота, биссектриса и ось симметрии треугольника АВС.
В прямоугольном треугольнике АОК АК = AB/2 = √3, OK = 1 (по теореме Пифагора).
Высота треугольника АВС СК = СО + ОК = 2 + 1 = 3 (т.к. СО - радиус опис. окружности).Линейным углом двугр. угла между плоскостями ABC и АВС1 является угол С1КС, т.к. АВ - ребро двугранного угла, а отрезки С1К и СК перпендикулярны этому ребру (треугольники С1СА и С1СВ равны по первому признаку, а значит, С1А = С1В, а значит, треугольник АС1В - равнобедренный, и его медиана является высотой). Тангенс искомого угла найдём из треугольника С1СК: tgα = С1C : KC = 15 : 3 = 5. Ответ: 5 |